Guten Morgen, herzlich willkommen zur Ausweichvorlesung und danke für den Fußmarsch.

Wir beschäftigen uns heute mit der Variationsrechnung im ersten Teil der Vorlesung.

Im zweiten Teil werden wir dann tatsächlich die Lagrange-Funktion identifizieren, die

einem Teilchen im neutronschen absoluten Raum zugeordnet ist.

Und wie das dann für ganz viele Teilchen geht und für Wechselwirkungen und für Zwangsbedingungen,

das kommt dann in der nächsten Vorlesung dran.

Also heute 14. Vorlesung Variationsrechnung und Lagrange-Funktion eines Teilchens.

So, in der letzten Vorlesung hatten wir uns ja relativ abstrakt beschäftigt mit dem Geschwindigkeitsphasenraum.

Und der Geschwindigkeitsphasenraum, den hatten wir ja mathematisch konstruiert als das sogenannte

Tangenzialbündel an eine glatte Mannigfaltigkeit.

Und zwar war das zunächst mal eine Menge TM, die sich konstituiert hat aus der disjunkten Vereinigung

aller Tangenzialräume an eine glatte Mannigfaltigkeit M.

Und so eine glatte Mannigfaltigkeit, die kommt ja natürlich mit einem Atlas.

Und es ist uns tatsächlich gelungen auch einen Atlas und Karten zu konstruieren für diesen TM.

Und wir hatten dann also Kartenabbildungen gemacht.

Also aus einer Karte Ux, aus dem Atlas der glatten Mannigfaltigkeit, hatten wir dann eine Kartenabbildung

oder eine Reihe von Kartenabbildungen konstruiert.

Nämlich diese Xi-X, die gingen jeweils von dem Bündel über nur dem Kartengebiet in den R hoch 2D war das.

Natürlich nur in Xi-X von TU, Teil des R hoch 2D.

Und diese Karten hatten wir explizit konstruiert und hatten damit einen Atlas, einen glatten Atlas

für das ganze Tangenzialbündel gebaut.

Und damit hatten wir dann eben das Tangenzialbündel TM als glatte Mannigfaltigkeit.

Und dieses Tangenzialbündel kam jeweils ausgestattet, also kam ausgestattet mit einer Projektionsfunktion

oder Abbildung, sodass dann eben von TM runter auf die Basismannigfaltigkeit wir diese Projektion hatten.

So, und die physikalische Interpretation davon war eben der Geschwindigkeitsphasenraum.

TM ist der Geschwindigkeitsphasenraum.

Wir werden nachher, das hatte ich angedeutet gehabt, noch einen anderen Phasenraum kennenlernen.

Der wird dann gegeben sein durch das Co-Tangenzialbündel.

Das ist dann die Grundlage der Hamiltonischen Formulierung.

Und da vereinigt man eben hier des Jungt alle Co-Tangenzialräume.

Okay, so weit, so gut.

Und dann hatten wir auf diesen Geschwindigkeitsphasenraum hatten wir eine Funktion oder mehrere Funktionen definiert.

Zunächst mal, wir können eine beliebige glatte Funktion auf diesem Geschwindigkeitsphasenraum betrachten.

Und eine solche Funktion, egal wie sie aussieht zunächst mal, heißt Lagrange-Funktion.

So, es gibt also ganz, ganz viele mögliche Lagrange-Funktionen.

Und welche uns da interessieren, da kommen wir drauf.

Aber zunächst mal nehmen wir mal irgendeine Lagrange-Funktion.

Und dann hatten wir definiert das Wirkungsfunktional oder kurz gesagt auch die Wirkung,

was war das? Das war eine Abbildung Groß S, die wird uns heute noch weiter beschäftigen.

Was frisst die? Die frisst glatte Kurven von einem Punkt P zu einem Punkt Q auf der Basismannigfaltigkeit.

Und wenn so eine Kurve frisst, spuckt es eine reelle Zahl aus, nämlich die dieser Kurve Gamma zugeordnete Wirkung.

Und da hatten wir gesagt, es ist Tradition dazu schreiben S, eckige Klammer, Gamma.

Aber nicht jedes solche Funktional, das einer Kurve eine reelle Zahl zuordnet, ist eine Wirkung,

sondern nur die der Form Integral a nach b d Lambda, die sich ergeben aus unserer Lagrange-Funktion.

Wenn man sich das anschaut, die Lagrange-Funktion ist eine glatte Funktion auf Tm.

Und wir haben aber auch eine Kurve Gamma.

Und wir können aber diese Kurve Gamma von a b, also dieses Gamma hier, Kurve Gamma, die hier drin liegt,

das ist eben eine Abbildung von a b nach m, wobei Gamma von a der Anfangspunkt sein muss

und Gamma von p der Endpunkt, q.

Und dann hatten wir etwas definiert, das hieß die Hebung der Kurve, das war dieser Kamerad hier,